Mesh란?

Circuit simulation과 달리 Field Simulation은 Maxwell 방정식을 직접 해석한다. 특정 구조를 Maxwell 방정식으로 해석한다는 의미는, 구조물의 각각의 부위마다의 field 값들을 계산해야 한다는 의미가 된다. 결국 그러기 위해서는 구조물을 적당한 단위로 쪼개서 각 단위마다의 Maxwell 방정식을 풀게 되는데, 이러한 하나 하나의 Maxwell 방정식 해석 구역을 Mesh 또는 Cell 이라고 부른다. 아래의 그림에서 계산을 원하는 구조물을 적당량의 mesh grid로 쪼갠 후, 각 mesh 구조마다 경계면과 그 중앙에 대한 E, H vector를 계산하는 과정을 개념적으로 나타내고 있다.

Mesh의 종류

Mesh는 아래와 같이 크게  Orthogonal mesh (Linear mesh)와 Non-orthogonal mesh (Nonlinear mesh)의 두가지 종류로 분류된다.

     Orthogonal mesh (Linear)           Non-orthogonal mesh (Nonlinear)

이 두가지 mesh는 특성이 크게 차이난다. 모양만 봐도 알겠지만, Orthogonal mesh는 간단히 바둑판처럼 분할되기 때문에 분할도 쉽고 조절도 쉽지만, 복잡도가 요구되지 않는 불필요 지역까지 한꺼번에 mesh가 늘어나기 때문에 효율이 많이 떨어진다. 대신에 Orthogonal mesh를 사용하는 알고리즘들은 미적분을 대수연산으로 처리하기 때문에 통상적으로 Non-orthogonal mesh를 쓰는 알고리즘보다 훨씬 많은 양의 mesh를 소화할 수 있다. 다시 말하면 계산속도가 빠르기 때문에 굳이 힘들게 Non-orthogonal mesh를 쓸 필요 없이 격자형태의 mesh를 간단하게 설정하여 해석할 수 있다는 뜻이다.

FDTD / FIM 의 Orthogonal mesh                      FEM 의 Non-orthogonal mesh            

FEM같은 경우는 Maxwell 방정식의 미적분항을 단순 대수연산이 아니라 어느정도 수치해석으로 직접 풀기 때문에, 계산 속도가 느리지만 반면에 적은 mesh를 가지고도 정확한 계산을 할 수 있다. 그렇기 때문에 양으로 승부를 거는 Orthogonal mesh를 이용하기보다는 효율이 높은 Non-Orthogonal mesh를 사용하게 되는 것이다. 뒤집어 말하면 대수연산 방식을 쓰는 알고리즘들은 계산밀도가 떨어지면 결과치의 오차가 커지기 때문에, 질보다 양으로 Orthogonal mesh를 쫙 깔아서 촘촘한 계산을 해야 한다. 아래 그래프에서 각 알고리즘별로 mesh양의 증가에 따른 계산 시간의 비례를 비교하였다.

2.5D 와 3D tool의 mesh 분할

2.5D field tool은 특성상 2차원 평면을 기준으로 mesh 분할을 하므로 mesh분할이 상대적으로 매우 쉽다. 게다가 거의 Orthogonal mesh를 사용하기 때문에 더더욱 간편해서, 사용자가 신경쓸 일은 거의 없다고 해도 과언이 아니다.(오른쪽 그림 참조) 경우에 따라 Non-orthogonal mesh를 사용하기도 하지만, 2차원에서는 별다른 문제없이 자동분할도 잘 되기 때문에 역시 간단하다. 고로 2.5D tool을 사용할 때는 mesh에 대해서는 아주 간단한 활용법만 이해하면 된다.

사실 mesh가 주로 문제가 되는 경우는 거의 99% 3D tool의 경우이다. 3차원이라는 것만으로도 2.5D tool과는 mesh분할의 난이도가 차원이 다르다. Orthogonal mesh를 사용하는 3D tool이 그나마 상대적으로 분할도 쉽고 간편하다고는 하지만, 종종 mesh문제로 곤란한 일을 겪게 된다. 특히 Non-orthogonal mesh 알고리즘을 쓰는 3D tool에서는 사용자가 직관적으로 mesh구조를 알아보고 이해하고 개입하여 분할한다는게 거의 불가능에 가깝다. 그냥 대략 mesh 분할 알고리즘을 이해하고 몇가지 특수한 파라미터를 조정하여 최적의 mesh가 되도록 '기도'할 뿐이다. 다행인점은 최근의 FEM 관련 tool들은 mesh분할 알고리즘이 매우 지능적이라서 왠만한 특수 구조가 아니라면 비교적 분할이 잘 이루어진다. 어쨌든 3D tool을 제대로 활용하기 위해서는 mesh 조절방법을 잘 이해하고 마스터하는 것이 중요하다는 점은 아무리 강조해도 지나침이 없다.

Mesh 자동 분할

대부분의 상용 2.5D / 3D field tool들은 구조에 맞게 자동적으로 mesh를 분할하는 기능을 내장하고 있다. 위의 내용에서 알 수 있듯이 Orthogonal mesh를 사용하는 FDTD, FIM, TLM 등의 알고리즘에서는 mesh 분할이 자동화하기가 매우 간편하다. 그냥 어느정도 간격으로, 어떤 모서리점을 주 기준으로 분할할 것인가 정도만 정리되면 아주 빠른 속도로 mesh분할이 이루어진다.

문제는 Non-orthogonal mesh 자동분할인데, 효율도 높고 정확도도 비교적 높긴 하지만 mseh 분할이 상당히 까다롭다는 점이 큰 장애물로 작용하게 된다. 그래서 상용 FEM solver들은 보통 adaptive mesh 분할법을 사용하게 되는데, 사용자가 mesh분할의 원리와 사용법을 잘 터득하느냐에 따라 결과의 정확도가 오락가락 하는 경우가 발생한다. Adaptive mesh 분할법의 기본 원리는 계산에너지 에러의 양에 따라 오차가 심한 부분에만 mesh양을 증가시키는 일종의 iteration(반복계산)법이다. 그래서 Non-orthogonal mesh를 사용하는 경우에는 mesh분할 자체에 적지 않은 시간을 소모할 수밖에 없다. 공학의 원리가 그렇듯이, 일장일단인 법이다.

원형/ 사선구조물의 Mesh 분할문제

2.5D건 3D건간에 원형구조의 해석은 나름대로 골치아픈 문제가 아닐 수 없다. 어차피 원래 컴퓨터 라는 것 자체가 아날로그한 것이 아니라 디지털 한 것이다보니 곡선이라는 개념은 그냥 점간을 연결한 사선의 모임일 뿐이다. 이러한 점이 mesh분할을 하려 할 때 특히 문제가 되는 것은 당연하다. 임의의 모양에 맞추어 임의 형상의 사면체를 만들어 해석하는 Non-orthogonal mesh에서는 그나마 원형에 대하여 적당한 각을 가지는 다각형으로 모델링하여 어렵지 않게 해결이 가능하다.

하지만 사각형과 육면체만 존재하는 Orthogonal mesh의 경우에는 상당히 골치아픈 문제가 된다. 예를 들어 아래 그림을 보면, 원형구조물을 사각 mesh로 나누려면 오른쪽 그림과 같이 최대한 많은 계단형 mesh로 분할할 수밖에 없다.

               원래 구조                                  사각계단으로 mesh분할된 경우

물론 이런 식으로 mesh 분할을 하면 결과값의 오차가 커지고, 특히 scattering 특성을 보고자 할 때 많은 오차를 발생시킨다. 많은 RF Field tool들은 이 문제를 해결하기 위해 기본적으로 아래와 같이 각 mesh의 간격을 다르게 하거나 대략 사선으로 모델링하는 기능을 포함하고 있다.

비등간격 mseh를 통한 밀도증가                   사선으로 mesh modeling     

그러나 최근에는 이러한 점을 극복하기 위해 Conformal mapping을 통해 원형구조에 대해 최적화된 경계면을 설정해주는 기능들이 추가되기 시작했다. 아래에는 Conformal mapping을 이용하여 사선 모델링된 mesh와 PBA를 이용한 구역분할 법의 그림을 나타내었다.

      Confrmal mapping                          Conformal mapping - PBA

이중 CST에서 개발한 PBA(Perfect Boundary Approximation) 알고리즘은 가장 진보된 형태의 Conformal mapping 방법으로서, 특별히 사선으로 modeling되지 않아도 하나의 mesh안에서 자동적으로 두 개의 재질로 mesh를 곡면분할하여 계산하는 방법이다. 이 방법은 이론적인 난이도가 다소 높긴 하지만, 특별히 mesh를 늘이지 않고도 원형/사선 구조물을 완벽하게 분할계산할 수 있다는 강력한 장점을 지니고 있다.

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